15. PLATONISCHE KÖRPER&xnbsp;
Ein Körper (Polyeder) heißt regelmäßig oder regulär, wenn gilt:
Er ist konvex.
Seine Oberfläche besteht aus&xnbsp; kongruenten .............................Vielecken.
Seine Eckenpyramiden&xnbsp; sind kongruent, d.h.&xnbsp; ....................&xnbsp; Kanten gehen von jeder Ecke aus, die&xnbsp; ............................zwischen zwei Nachbarseitenkanten sind gleich.
Bemerkungen:&xnbsp; „poly“&xnbsp; ...&xnbsp; viel&xnbsp;&xnbsp; „eder“...&xnbsp; Fläche
konvex bedeutet:
Benannt werden diese Körper nach PLATON(429 - 348 v.Chr.,
griechischer Philosoph und Förderer mathematischer Forschung).
Die Erkenntnisse der Mathematik waren für PLATON Einblicke in das Reich der Ideen; diese galten ihm als Grundlage aller Erkenntnis. Er wünschte, dass der Staat auf jede Weise die mathematische Forschung besonders fördere. Über dem Eingang seiner Schule „Akademie“ soll gestanden haben:
„Es trete kein der Geometrie Unkundiger ein.“
Obwohl es unendlich viele regelmäßige Vielecke gibt, gilt:
Es gibt&xnbsp; genau fünf PLATONische Körper.
| Beweis: Wieviel Flächen müssen mindestens in einer Ecke zusammenstoßen?&xnbsp; ..................... Wie groß darf die Winkelsumme in einer Ecke maximal sein, um der Forderung nach einer Raumecke und nach Konvexheit zu entsprechen? ............ Welche regelmäßigen Vielecke kommen für die Seitenflächen in Frage? |
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| regelmäßiges Vieleck |
Eckenwinkel |
Anzahl der Vielecke in einer Ecke |
Winkelsumme in eier Ecke |
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| Dreieck |
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| Viereck |
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| Fünfeck |
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| Sechseck |
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| Siebeneck |
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| Damit wurde gezeigt, dass es maximal 5 derartige Körper geben kann. (dass es tatsächlich fünf gibt, zeigen die Abbildungen.) Diese Figuren sollen zeigen, wie die Körper in einen Würfel eingeschrieben werden kann. Dieses Einschreiben eröffnet sowohl einen rechnerischen als auch einen konstruktiven Zugang zu diesen Körpern! Berechne Oberfläche u. Volumen der eingeschriebenen Körper bei gegeb. Würfelkantenlänge a! PLATO ordnete diese Körper den kosmischen Bestandteilen der Welt zu: Feuer, Luft, Wasser, Erde, Himmelmaterie. Bereits EUKLID konnte zeigen (als Abschluss und Höhepunkt seiner „Elemente“), dass es nur diese fünf regelmäßigen Körper geben kann. |
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Johannes KEPLER suchte nach einem Ordnungsprinzip der Welt, weil er glaubte, die Planeten müßten nach einer bestimmten mathematischen&xnbsp; Gesetzmäßigkeit um die Sonne kreisen. In seiner Schrift „Mysterium Cosmographicum“ veröffentlichte er seine Gedanken darüber. Die In- bzw- Umkugeln der ineinandergeschachtelten Platonische Körper geben das Verhältnis der Bahnradien der Planten wieder.&xnbsp; Zu KEPLERs Zeiten waren nur 6 Planeten bekannt. KEPLER hat aber später diese Theorie selbst widerrufen.
Gemeinsame Eigenschaften dieser Körper:
Alle Ecken liegen jeweils auf einer Umkugel.
Alle Flächen berühren jeweils&xnbsp; eine Inkugel.
Alle Kanten berühren jeweils in ihren Halbierungspunkten die Kantenkugel.
Alle drei Kugeln haben ihren Mittelpunkt im Mittelpunkt des Körpers.
Das Volumen wird durch untereinander kongruente regelmäßige Pyramiden aufgefüllt.
Beispiele:
Berechne In-,Um- und Kantenkugelradius eines regelmäßigen Oktaeders.
Berechne das Volumen und Oberfläche der Körper.
Aus [VORDERMAN 1996]: 
Aus der Zeitschrift „mathematik lehren“, Heft 67 stammt folgendes Arbeitsblatt:
16. ARCHIMEDische Körper
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| Neben den PLATONischen Körpern gibt es auch solche, deren Oberfläche sich aus zwei oder drei verschiedenen regelmäßigen Vielecken zusam-mensetzt. Diese nennt man Archimedische oder halbregeluäre Körper. Es gibt 13 dieser Körper. Man erhält diese Körper etwa durch Abschleifen von Ecken oder Kanten aus den Platonischen Körpern. Geht man vom Würfel aus, so kann man folgende Reihe von Körpern erhalten: WürfelWürfelstumpfKuboktaederOktaederstumpfOktaeder ...Im Zusammenhang mit diesen operativen Tätigkeiten lassen sich jede Menge Berechnungsbeispiele finden, zum Beispiel: Berechne das Volumen eines Kub-Oktaeders, wenn der Würfel ursprünglich eine Kantenlänge a gehabt hatte. Analog kann man von den anderen PLATONischen Körpern ausgehen. Einen hervorragenden Überblick gibt hierzu das Buch [ADAM/WYSS, Platonische
und Archimedische Körper, Verlag Freies Geistesleben] Eine Ansichtskarte:
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