11. Prismen, Zylinder, Pyramiden und Kegel

Prismen sind Körper mit zueinander parallelen Seitenkanten. Basis- und Deckfläche werden hier als&xnbsp; zueinander parallel vorausgesetzt.

Oder:&xnbsp; Prismen sind Körper, die entstehen, wenn eine ebene Figur&xnbsp; im Raum entlang einer gegebenen Strecke&xnbsp; parallelverschoben wird. Ist diese Strecke normal zur Ausgangsfigur, dann heißt das Prisma gerade, sonst schief.

Die Ausgangsfigur entspricht dabei der Basisfläche, die Bildfigur nach der Verschiebung der Deckfläche.

Ist die Begrenzung der Basis-oder Ausgangsfigur nicht eckig,&xnbsp; sondern eine Kurve, so spricht man von einem Zylinder.

&xnbsp;Speziell: Basisfläche =&xnbsp; Kreis ............&xnbsp;&xnbsp; „Kreiszylinder“

Ist der Körper gerade im Sinne obiger Definition, dann heißt der Kreiszylinder .............zylinder.

Volumsformel für Prismen und Zylinder:

Bei der Herleitung einer Volumsformel kommt es nur auf das Abzählen der enthaltenen Einheitswürfel an.

Zählt man die Einheitswürfel in einem Quader, dann kann man zunächst die unterste Lage von Würfeln zählen (= a.b), dann diese Ebenenlage entsprechend oft vervielfachen [(a.b).c)]: Man multipliziert einfach den Inhalt der Grundfläche G (Zahl der Einheitsquadrate entspricht der Zahl der darüber liegenden Einheitswürfeln) mit der Höhe h.

Entsprechend der Vorgangsweise bei der Herleitung des Inhalts allgemeiner Figuren von der Rechtecksfläche über die Dreiecksfläche, kommt man hier von der Quaderinhaltsformel zur Volumsformel für allgemeine Prismen:

Da&xnbsp; ............................................................................ gilt, ist es gleichgültig, ob das Prisma gerade oder schief ist. Wichtig ist dabei nur, dass die Höhe h den Abstand zwischen Basis-und Deckebene angibt.

Pyramiden sind Körper, deren Seitenkanten einander in einem Punkt (Spitze) schneiden. Liegt die Spitze über dem Mittelpunkt der Basisfigur, dann heißt die Pyramide gerade, sonst schief.

&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;

Herleitung über das Prinzip von CAVALIERI:

Um dieses Prinzip anwenden zu können, muss man zeigen, dass bei gleicher Basisfläche jeder ebene Schnitt in derselben Höhe ............................. hat.

Es gilt also:

Die&xnbsp; Flächeninhalte dieser ebenen Schnittflächen verhalten sich wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze&xnbsp; S. Deshalb ist bei gleicher Basisfläche auch jeder ebene Schnitt in derselben Höhe flächengleich.

Haben zwei Pyramiden gleiche Grundfläche und gleiche Höhe, dann sind die ebenen Schnitte parallel zur Grundfläche in gleicher Höhe flächengleich.

Daraus folgt:

Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe sind volumsgleich.

Jetzt wird das Volumen einer Pyramide&xnbsp; mit dem eines Prismas&xnbsp; verglichen. Dazu teilt man etwa ein dreiseitiges Prisma&xnbsp; (V = G.h)&xnbsp; wie&xnbsp; folgt in&xnbsp; Teilpyramiden:

Beispiele: Es ist jeweils eine Formel für das Volumen anzugeben.

Aus [VORDERMAN 1996]: