8.Die Fläcchensättze im rechtwinkeligen Dreieck
Wir leiten diesen fundamentalen Satz mit Hilfe ähnlicher Dreiecke her:
Wir betrachten jeweils das Verhältnis:
&xnbsp;Hypotenuse zur kurzen Kathete&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; bzw.&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; Hypotenuse zur langen Kathete
Ausschnitt aus dem Ergänzungsheft zur 4. Klasse aus dem Oldenburg Verlag Wien[1]
b „Indischer Beweis“ des Satzes von PYTHAGORAS
| PYTHAGORAS, 6. Jhdt v. Chr. auf Insel SAMOS. Bereits die Ägypter kannten zumindest das rechtwinkelige Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5&xnbsp; - „Knotenseil“ - Johannes KEPLER nannte den Lehrsatz von Pythagoras einmal einen der großen Schätze der Geometrie, vergleichbar mit einem Scheffel Gold. Über 200 Beweise dieses Satzes sollen existieren. |
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B) Höhensatz des EUKLID
(EUKLID 300 v. Chr. Alexandria, „Elemente“)
Anwendung des Höhensatzes:
Sind zwei Zahlen x und y gegeben, dann heißt m a = (a+b)/2 &xnbsp;das arithmetische Mittel &xnbsp;und m g = SQRT(x.y)das geometrische Mittel von x und y.&xnbsp;&xnbsp; Es gilt stets ma ³> mg, was sich geometrisch besonders elegant zeigen lässt:
Wann gilt die Gleichheit?
Der Lehrsatz&xnbsp; von PYTHAGORAS gilt nicht nur für Quadrate, sondern auch für beliebige (zueinander) ähnliche Figuren über den Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks:
| Es gilt: Aa + Ab = Ac Ist das Dreieck nicht mehr rechtwinkelig, dann tritt an die Stelle des Lehrsatzes von Pythagoras der Cosinussatz c² = a² + b² - 2 a b cos g |
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Eine andere Erweiterung stellt die Fermat'sche Vermutung dar, wonach
xn + yn = zn
für alle n größer als 2&xnbsp; keine ganzzahligen Losungen besitze. Dass diese Vermutung stimmt, konnte erst 1995 vom britischen Mathematiker Andrew WILES bewiesen werden. --> Literatur [SINGH 1998]