6. GPS
General Position System - Eine Anwendung
| GPS ist ein System zur Festlegung des
Standpunktes auf der Erdoberfläche mit Hilfe von Satelliten. Zivile geodätische Nutzung seit 1981&xnbsp; Ab&xnbsp; 1990 erste Navigationsgeräte in Taschenrechnergröße |
|
Neben der genauen geografischen Position [Fehler (absolut)&xnbsp; etwa 20 – 30 m] zeigt der abgebildete GPS-Empfänger GARMIN GPS12 um etwa 200 Euro (auch bei bewegtem Objekt) Geschwindigkeit, zurückgelegten Weg, verflossene Zeit und Seehöhe an. Nebenbei erhält man noch Skizzen in einem wählbaren Maßstab.
| |
|
&xnbsp; 
3 Komponenten
| Weltraum |
Kontrolle |
Nutzer |
| Satelliten, die auf 2 Frequenzen Signale aussenden (v.a. Zeit und Position) |
5 Kontrollstationen auf der Erde verteilt, v.a. Zeitkontrolle (Nanosekundengenauigkeit) |
Militärische Nutzer Zivile Nutzer |
Zu den Satelliten
Zu Beginn der 90er Jahre waren 25 Satelliten auf insgesamt 6 Bahnebenen positioniert, Höhe 20 200 km, 12 Stunden Umlaufzeit, 4 Satelliten gleichzeitig über Horizont sichtbar, System wird laufend ausgebaut und von der Regierung der USA betrieben.
Vorteile
· Hohe Genauigkeit (10-30 m mittlere Positionsfehler)
· Echtzeitnavigation (auch für schnell bewegliche Ziele - Raketen)
· Weltweite ständige Verfügbarkeit (Wetterunabhängigkeit)
· Resistent gegen unabsichtl. und absichtl. Störungen
Geometrische Problemstellung
Bekannt sind die Satellitenpositionen [Si(xi /yi /zi)], gesucht ist der eigene Standort [P(x/y/z)]
Theoretische Lösung ...
... beruht auf der Messung der Signallaufzeit ti . Daraus kann die Entfernung si zu jedem empfangbaren Satelliten berechnet werden: si = t.c&xnbsp; [c = Lichtgeschwindigkeit]
Man kennt&xnbsp; also die Entfernung si des eigenen Standorts P vom Satelliten Si:
P liegt&xnbsp; auf&xnbsp; ..................................
Deshalb befindet sich dieses Stück angewandter Mathematik im Kapitel „Ortslinien“.
| P ist durch den&xnbsp; Schnitt von ........................&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; festgelegt. Rein rechnerisch erhält man jeweils Gleichungen mit den 3 Unbekannten x, y, z &xnbsp; si = xi ,yi ,zi = Die Darstellung rechts entspricht einer Projektion auf ......................... |
|
Bei der tatsächlichen Lösung in der Praxis ...
... ist&xnbsp; Messung der Signallaufzeit leider fehlerbehaftet:
· Unzureichende Synchronisation der Uhren im Satelliten und im Empfänger.
· Ionosphärische und troposphärische Laufzeitverzögerungen.
Deshalb wird nicht die echte Distanz si, berechnet, sondern eine Entfernung pi,, die mit einem Fehler s behaftet ist.&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; &xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; si = pi + s&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; oder&xnbsp; pi&xnbsp; =&xnbsp; si&xnbsp; -&xnbsp; s
pi wird als Pseudostrecke bezeichnet.
Der Fehler s hängt nicht vom Satelliten Si ab, da sich der Fehler in der Empfängeruhr bei allen Satellitensignalen gleich auswirkt, auch die atmosphärischen Störungen werden wegen der
| Gleichzeitigkeit der Messung gleich angenommen. P kann daher nicht so einfach als Kugelschnitt gefunden werden. &xnbsp;Man benötigt also tatsächlich&xnbsp; ........&xnbsp; Satelliten. |
|
Lösen wir zunächst analog zum Raum die ebene Problemstellung: Man kennt zwei Kreise und soll einen Kreis mit unbekanntem Radius s&xnbsp; und Mittelpunkt P so finden, dass er die beiden gegebenen Kreise berührt:
Es gilt: 
Der Ort aller Mittelpunkte P ist deshalb ..................................
Übungsbeispiel: S1(-8/0), p1 = 6 , S2(2/0), p2 = 2
Anmerkung: Wegen einer möglichen Berührung von innen gibt es eine zweite&xnbsp; konfokale Hyperbel als Mittenort.
Abschlussbemerkung zur Lösung räumlichen Lösung:
Durch Rotation um die gemeinsame Achse erhalten wird die räumliche Situation bei der Annahme zweier Satellitenmessungen. Der Ort der möglichen Positionen liegt auf&xnbsp; KUGELN.
Bei der ebenen Aufgabe ist durch Annahme eines dritten Kreises ist die Position P&xnbsp; bestimmt:&xnbsp; Man hat dann die Aufgabe, zu drei gegebenen Kreisen mögliche Berührkeise zu finden. Dies ist die berühmte Aufgabe des APOLLONIUS von PERGA (geb. 262 v. Chr.). Diese Aufgabe hat maximal 8 Lösungen.&xnbsp;
Die entsprechende räumliche Aufgabe von&xnbsp; APOLLONIUS lautet:&xnbsp; Finde zu vier gegebenen Kugeln alle möglichen Berührkugeln. Dieses Problem hat&xnbsp; maximal 16 Lösungen.&xnbsp;
Da man die Entfernungen von&xnbsp; vier Satelliten misst, kommt es zu Schnitt von mehreren Hyperboloiden, die wegen der konfokalen Lagen statt der allgemein 16 Lösungen&xnbsp; nur&xnbsp; 2 Schnittpunkte haben.
Rücken diese beiden Punkte knapp zusammen, so ist die tatsächliche Position ungenau bestimmt. Es liegt ein sogenannter „gefährlicher Ort“ vor
Wer mehr wissen will, sei auf die Literatur verwiesen:
[W]&xnbsp; Th. WUNDERLICH, Die geometrische Grundlagen der GPS-Einzelpunktbestimmung
&xnbsp;(XI. Internationaler Kurs für Ingenieurvermessung, 1992, Zürich, ETH-Zentrum)
[1]Figur entnommen dem wunderschönen Buch von Carol VORDERMAN, How Mathematics Works Verlag Dorling Kindersley, London 1996, Seite 182 &xnbsp;[VORDERMAN 1996] [2] Diese Textsequenz wurde dem Penguin-Taschenbuch&xnbsp; DICTIONARY OF MATHEMATICS edited by John DAINTITH and R.D. NELSON entnommen, Penguin Books 1989, [DAINTITH, 1989] [3] aus [VORDERMAN 1996], siehe Fußnote Seite 2