5. Hyperbel

Der Abstand von F₁ zu M&xnbsp; wird Exzentrizität e genannt. 1. Punktkonstruktion: Die Konstruktion wird&xnbsp; auf dem folgenden Arbeitsblatt konkret ausgeführt. Als günstig erweisen sich die angegebenen Streckenlängen 9, 7, 5, 4 für die jeweilige Entfernung von F₁. Die Entfernung vom anderen Brennpunkt wird graphisch ermittelt. Bei der Wahl der Länge 4 erkennt man bei genauer Zeichnung, dass der erhaltene Punkt direkt auf der Strecke zwischen F₁ und F₂ liegt, denn&xnbsp; AF₂ = 4 - 2a = 1&xnbsp; und&xnbsp;&xnbsp; AF₁ + AF₂ = F₁F₂&xnbsp; (=5).

Auf diese Weise hat man einen Scheitel gefunden.

Ungewohnt ist das Zerfallen der Kurve in zwei Teile.

(Um einen solchen Sachverhalt zu veranschaulichen, könnte man etwa einen Tennisball mit der typischen "Tennisballkurve" in den Unterricht mitbringen. Wird der Ball von einer Seite angesehen,

so könnte man meinen, dass sich zwei Kurven auf der Balloberfläche befinden, dreht man ihn, so merkt man, dass beide Teile verbunden sind.)

2. Tangentenkonstruktion: Die Tangente ergibt sich jeweils als Winkelsymmetrale der beiden von den Brennpunkten ausgehenden Leitstrahlen. Ein Beweis für diese Konstruktion könnte analog zur Parabel erfolgen.

&xnbsp; &xnbsp;&xnbsp;

3. Asymptoten: Die Diagonalen des durch ABCD festgelegten achsenparallelen Fensters werden von der Hyperbel nicht geschnitten. Allerdings nähert sich die Kurve diesen Geraden immer weiter ohne sie je zu erreichen.&xnbsp; Bemerkung: C und D heißen zwar nach wie vor „Nebenscheitel“!, sind aber keine (reellen) Punkte der Hyperbel mehr.

4. Krümmungskreise für die Hauptscheitel A und B: Die Krümmungsmitten finden sich im Schnitt der Normalen auf die Asymptoten (in den Eckpunkten des Fensters) mit der Hauptachse. Dies müsste wiederum rechnerisch bewiesen werden.

Anwendungen:

a)&xnbsp; Drehkegelschnitt&xnbsp; - siehe Bleistift-&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; spitze

b) Bahn von Raumsonden

&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; (v₀ > 11,2 km/s)

Fliegt ein Körper (z.B.: Raumsonde, Komet) so schnell an einem Planeten oder Stern&xnbsp; (z.B. Sonne) vorbei, dass er nicht durch die Schwerkraft eingefangen werden kann, dann beschreibt er einen Hyperbelast, in dessen Brennpunkt sich der Planet bzw. Stern&xnbsp; (Sonne) befindet.