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2. Ellipse

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte (der Zeichenebene), für die

die Summe der Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkten) konstant ist.

F1,F2 ...Brennpunkte

A, B...Hauptscheitel

C, D...Nebenscheitel

2a...Hauptachsenlänge

2b...Nebenachsenlänge

e...Brennweite

&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; (lin. Exzentrizität)

l1,l2...Brennstrecken

 Vergleiche Fußnote> [2]>

Punktweise Konstruktion einer Ellipse

 

Konstruiere jeweils die Ellipse (d.h. Brennpunkte bzw. fehlende Scheitel)

geg: b,e

geg: a,b

Um das mühevolle punktweise Zeichnen einer solchen Kurve etwas zu erleichtern, gibt es Konstruktionen, die die Ellipse in der Umgebung beliebiger Kurvenpunkte (wir beschränken uns auf die Scheitel) durch Kreise ersetzen, die sogenannten

&xnbsp;Scheitelkrümmungs- bzw Schmiegungskreise

Der Beweis für diese Konstruktion könnte rechnerisch erfolgen.

Konstruktionstipp:

Zuerst immer die Krümmungskreise, dann erst evtl. in den "Lücken" Punkte nach der Brennpunkts-konstruktion ermitteln, falls man kein gutes Kurven-lineal hat (vgl. Übungen!)

Die Bedeutung der Ellipse liegt v.a. in ihrer physikalischen Anwendung:

a) Die Bezeichnung&xnbsp;&xnbsp; "B r e n n p u n k t e "&xnbsp;&xnbsp; leitet sich aus folgender Eigenschaft ab: Man denke sich die Ellipse an der "Innenseite" "verspiegelt".&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; (Licht)strahlen, die von einem Brennpunkt aus-gehen, werden an der Kurve stets so reflektiert, dass sie dann durch den anderen Brennpunkt verlaufen.


Aus dem Reflexionsgesetz (Einfallswinkel&xnbsp; = Ausfallswinkel)&xnbsp;&xnbsp; folgt folgende&xnbsp; einfache Tangenten- konstruktion (, mit der man allerdings die Schüler in der HS nicht belasten sollte!):

Die Tangente t ist eine Winkelsymmetrale der beiden Leitstrahlen.

Bemerkung: Spiegelt man F2 an t, so muss sein Bild F2' (= „Gegenpunkt“ G2 von F2) auf l1 liegen (wegen............................................). Was gilt für die Strecke F1 G2?

Für den geometrischen Beweis der Tangenten-konstruktion zieht man etwa folgende Skizze heran und wählt einen beliebigen Punkt Z auf der Tangente hier etwa rechts vom Berührpunkt X liegend. Es gilt

F1Z +&xnbsp; F2Z = F1Z +&xnbsp; G2Z >

F1X +&xnbsp; G2X = ......................

Warum?

b) Ebener Schnitt eines Drehzylinders oder Drehkegels kann Ellipse sein:

Wurstanschnitt&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;

Flüssigkeitsstand bei schief gehaltener Flasche

Schatten einer

Kugel bei Parallel- oder Zentralbeleuchtung (Sehstrahlen bilden Drehzylinder

·        oder Drehkegel

c) In schräger Blickrichtung erscheinen Kreise als Ellipsen.

&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; >

d) Planetenbahnen:

1. Kepler' sches Gesetz: Die Bahn jedes Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Johannes Kepler: 1571 in Württemberg geboren, mit 23 Jahren Professor im Stiftsgymnasium in Graz, 1600 nach Prag zu Tycho Brahe, später als Mathematiker in Linz, 1630 in Regensburg gestorben.

 

Daten der Erdbahn Ellipse:&xnbsp;&xnbsp; a= 152 500 000 km&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;b= 147 500 000 km

Beispiele:&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;

Zeichne eine Ellipse mit e = b = 6 cm („gleichseitige Ellipse“)

Zeichne eine Ellipse mit a = b = 4 cm („..................................“)

Zeichne eine Ellipse, von der man&xnbsp; die Brennpunkte und einen Kurvenpunkt kennt.

Zeichne eine Ellipse, von der man einen Brennpunkt, die Länge 2a und zwei Kurvenpunkte kennt.

Konstruiere&xnbsp; die Mittelpunkte aller Kreise, &xnbsp;&xnbsp; die den gegebenen Kreis k berühren und die den Punkt P &xnbsp;&xnbsp;enthalten.

Ellipsenzirkel:

Beruht auf der sogenannten PAPIERSTREIFENKONSTRUKTION der Ellipse .

Drei Punkte P, Q, R werden auf einem Papierstreifen markiert. P und Q werden auf (orthogonalen)&xnbsp;Geraden geführt. &xnbsp;S beschreibt dabei eine Ellipsenbahn.

&xnbsp;Weitere Ellipsenkonstruktionen

Die Ellipse als Menge von Kreismittelpunkten ... (diese Kreise berühren einen gegebenen Kreis von innen und gehen alle durch einen gegebenen Punkt P):

Zweikreiskonstruktion (Scheitelkreiskonstruktion):


Gärtnerkonstruktion (Fadenkonstruktion):

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