6. Ähnlichkeit
Die Strahlensätze und weitere geometrische Abbildungen
In 4 Abschnitten - Strahlensätze, zentrische Streckung, Ähnlichkeit und goldener Schnitt - wird dieser wichtige Begriff, in dem eigentlich auch die Kongruenz enthalten ist, beleuchtet.
Gegeben seien 2 von A ausgehende Strahlen b und c,
auf b wird von A aus sukzessive dieselbe Einheit e abgeschlagen,
man erhält die Punkte B1, B2,..., durch diese Punkte werden Parallele gelegt,
die c in Punkten C1,C2,... schneiden. ...
Durch Kongruenzüberlegungen (WSW-Satz) erkennt man: Die Strecken zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkten Ci ist gleich und zwar gleich der Strecke AC1 = e'.
Es gilt: ABi = i.e und ACi = i.e'
Man kann weiters erkennen:
ABi : ABj = i.e : j.e = i : j = i.e' : j.e' = ACi : ACj
Die Verhältnisse entsprechender (durch die Parallelen ausgeschnittenen) Streckenabschnitte auf beiden Strahlen verhalten sich gleich (natürlich auch, wenn die Streckenabschnitte nicht von A ausgeben).
Dies führt zum sogenannten 1. Strahlensatz:
1. STRAHLENSATZ: Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Längen entsprechender Abschnitte auf beiden Strahlen gleich.
Gilt auch die Umkehrung des ersten Strahlensatzes ?
Sind demnach, wenn sich die Abschnitte auf beiden Strahlen gleich verhalten, die Geraden BiCi untereinander parallel ?
| Nehmen wir das Gegenteil an, dh. Verhältnis sei gleich * AB1: AB2 = AC1 : AC2 , und BiCi sei nicht parallel: |
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Dann lässt sich durch B2 eine Parallele zu B1C1 zeichnen und diese schneidet c in einem Punkt C (,der sicher ungleich C2 ist).
Auf die Strecken AC1, AC, AB1, AB2 kann nun wegen der Parallelität der erste Strahlensatz angewendet werden, und es gilt:
AC1 : AC = AB1 : AB2 = (lt. Vorauss. *) AC1 :AC2
insgesamt folgt daraus die Streckengleichheit von AC2 und AC und daraus die Gleichheit von C und C2.
Damit wurde ein Widerspruch zur fettgeschriebenen Folgerung und damit zur Voraussetzung (nicht parallel) festgestellt. Die Behauptung kann also nicht stimmen! ("indirekter Beweis")
Die Umkehrung des ersten Strahlensatzes gilt also!
Das in obiger Abbildung auftretende Verhältnis kann auch auf andere Weise umgeformt werden:
(wenn man z.B. B1C1 = f setzt, folgt daraus:) = BiCi :BjCj
Es ergibt sich der zweite Strahlensatz:
2.STRAHLENSATZ: Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich gleich wie die Abschnitte auf den Strahlen vom Anfangspunkt A aus gemessen.
| Gilt auch von diesem Satz die Umkehrung? Das Verhältnis sei gleich, müssen dann auch die Strahlen parallel sein ? Z.B. sei AB1 : AB2 = 2 : 3 = B1C1 : B2C2 Frage: Ist B1C1 parallel zu B2C2 ? |
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| Diese Abbildung kann man sich als Verallgemeinerung einer Punktspieglung vorstellen: |
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Unter einer zentrischen Streckung versteht man eine Abbildung.
Diese ist so erklärt, dass zunächst ein Punkt Z ("ZENTRUM") von G und eine beliebige Zahl k ("FAKTOR") aus R fest gewählt werden. Für jeden Punkt P (ungleich Z) soll gelten:
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||
| a) Bild P' von P liegt auf der Geraden
ZP
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Beispiel 1: k = 0,5
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Beispiel 2: k = 1,5
Eigenschaften der Abbildung:
Da das Verhältnis der Teilstrecken auf jedem Strahl durch Z gleich ist (= k), folgt wegen........................... ............................................... die Parallelität von Geraden (z.B. AB) und Bildgeraden (z.B. A1B1).
| Warum hat die Bildstrecke die k-fache Länge der Urstrecke ? P’Q’ = k.PQ, da
..... =
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Wie verändert sich der Flächeninhalt einer Figur?
A = a.b A’ = a’.b’ = k.a . .......... = ... Folgerung
Die Abbildung ist winkeltreu!
Warum ?
Fixelemente:
Die Abbildung ist kreistreu:
Für den Fall, dass k negativ sei, soll zusätzlich definiert werden, dass P' und P auf verschiedenen Seiten von Z liegen sollen.
Spezialfälle:
* k = 1 .......................................................................................
* k = -1
Das bisher angeeignete Wissen über Strahlensätze und die zentrische Streckung wird nun bei einigen Beweisen angewendet und vertieft:
Zwei Schwerlinien teilen einander im Verhältnis 2:1
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Anleitung: Q und P sind Halbierungspunkte der Seiten AC und BC. Wie liegt PQ zu AB ? (Warum?) AB : PQ = .... : .... Wende den ... Strahlensatz auf die Strahlen durch S an und dann den ... Strahlensatz auf die durch S gehenden Strahlen! AS : PS = ..... |
Mit Hilfe des eben bewiesenen Satzes lässt sich nun der
* Beweis für die Existenz des Schwerpunktes führen:
Mechanisches Gerät zur Durchführung einer zentrischen Streckung:
PANTOGRAPH oder STORCHENSCHNABEL
In obiger Abbildung sieht man zwei Figuren (ergänzt zur Schrägrissdarstellung zweier Prismen), die die gleiche Gestalt haben aber verschieden groß sind. Dieser Zustand tritt in der Praxis oft auf: Denken wir beispielsweise an Pläne desselben Objekts in verschiedenen Maßstäben, an ein Original und ein Modell davon, an zwei verschieden große Vergrößerungen desselben Negativs usf.
| In der mathematischen Fachsprache heißen solche Figuren zueinander ähnlich. Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie in entsprechenden Winkeln übereinstimmen und einander entsprechende Seiten im selben Verhältnis stehen. |
Aus dem Dictionary of Mathematics von J.Daintith u. R.D. Nelson (Penguin Books, 1989)
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F ~ F’
Man kann die Ähnlichkeit von Figuren auch mit Hilfe der gelernten Abbildungen definieren, etwa so:
Zwei Figuren heißen ä h n l i c h ( F1 ~ F2) , wenn sie durch Verknüpfung von zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen ineinander übergeführt werden können.
Beispielsweise muss man nach dieser Definition beweisen, dass je zwei Quadrate zueinander ähnlich sind, nach der ersten Definition ist es sofort klar!
Sonderfall: Kongruente Figuren sind immer zueinder ähnlich!
Schlussbemerkung: Da die "Zeit der Abbildungsgeometrie" in der Schule (vorübergehend? vgl. CAD-Programme!) vorbei ist, wählt man in manchen Schulbüchern den Weg, zuerst Eigenschaften ähnlicher Figuren zu sammeln, dann erst auf die Strahlensätze ... zu stoßen.
Dabei handelt es sich um eine spezielle Anwendung der Strahlensätze bei Streckenteilungen. Bei besonderen Verhältnissen bei Streckenteilungen kommen ästhetisch besonders ansprechende Lösungen vor, die in der Natur und Baukunst vertreten sind.
Innere und äußere Teilung:
Eine gegebene Strecke AB soll durch einen Punkt in einem bestimmten Verhältnis geteilt werden (z.B. AT : BT = 2:5):
| Nach dem 1. Strahlensatz: |
Nach dem 2.Strahlensatz: |
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T teilt die Strecke innen!
Wie man sehen kann, teilt auch der Punkt S in folgender Zeichnung die Strecke AB im geforderten Verhältnis:
S teilt die Strecke außen!
Eine Strecke AB wird durch inneren und äußeren
Teilungspunkt harmonisch geteilt.
A, B, S, T heißen harmonisch liegende Punkte.
Beispiel: Teile AB harmonisch im Verhältnis 8:3.
Teilung im GOLDENEN SCHNITT
Eine Strecke AB soll durch einen Punkt C so
geteilt werden, dass AB : AC = AC : BC
Eine Strecke ist im Goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die ganze Strecke zum größeren Abschnitt gleich verhält wie der größere zum kleineren.
| Es muss also gelten: a : b = b : c (geg: a, ges: b,c) a: b = b : (a-b) b² = a² - ab b² + ab - a² = 0 Lösung der quadratischen Gleichung führt auf: b = Der Beweis der Konstruktion kann leicht mit einem Vorgriff auf dem Satz von PYTHAGORAS (3. Semester) erfolgen: |
Konstruktion:
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Aus der Presse: 21. März 2004, Kurier:
Bemerkung zum Namen:
Leonardo da Vinci (1452 - 1519) sprach von "Sectio aurea", Johannes Kepler (1571 - 1630) von einem "göttlichen" Verhältnis ("Esectio divina") bei Auftreten des Goldenen Schnitts in der Pflanzenwelt.
Beispiele:
Lit: Otto Hagenmaier: Der Goldene Schnitt (Augustus-Verlag,1988)
In der Natur ...
In der Kunst ...
Vielfältige Anwendungen in der Malerei bei der Bildkomposition, zum Beispiel Bildaufbau der "MONA LISA" von Leonardo
Menschlicher Körper: Nabel teilt Körperlänge im Goldenen Schnitt:
In der Architektur ...
zum Beispiel UNO-Gebäude in New York, Verhältnis der Säulenhöhe zur Gesamthöhe bei griechischen Tempeln (Parthenon-Tempel in Athen)
In der Geometrie ...
Eine Umfrage aus dem Jahre 1876 ...
Eine Struktur heißt selbstähnlich, wenn Teile von ihr ähnliche Kopien des Ganzen enthalten.
Untrennbar damit verbunden ist der Name Benoit B. MANDELBROT (geboren 1924), der Schöpfer dieses Begriffes.
Beispiele:
SIERPINSKI-Dreieck
KOCH-Kurve
Fraktale Bäume
Lehrplan und Schulbeispiele
