5. Vierecke und Vielecke
Sätze und Konstruktionen
Nach allgemeinen Bezeichnungskonventionen für Vierecke werden Sätze für spezielle Vierecke - Sehnen-und Tangentenvierecke - bewiesen. Eine Übersicht über die in der Schule zu behandelnden besonderen Vierecke schließt sich an. Abschließend wird nach der Betrachtung regelmäßiger Vielecke eine Näherungskonstruktion für beliebige regelmäßige Vielecke geboten.
| Wir betrachten das Modell eines GELENKVIERECKS aus Pappstreifen oder Holzleisten. Aus der Beweglichkeit des Modells erkennen wir, dass vier Angabestücke zur eindeutigen Festlegung der Form eines Vierecks zuwenig sind.
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Bei den folgenden Ausführungen werden nur konvexe Vierecke betrachtet:
| k o n v e x
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n i c h t k o n v e x |
Definiton: |
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Eine Figur heißt konvex, wenn für jedes Paar beliebig gewählter Punkte der Figur auch die Verbindungsstrecke ganz in dieser Figur liegt. |
Bezeichnungsweise bei einem Viereck:
Die Winkelsumme wird zurückgeführt auf die Winkelsumme zweier Teildreiecke.
Kongruenzsätze der Vierecke müssen nicht extra angegeben werden, wenn man bedenkt, dass ihre Kongruenz aus der Kongruenz "gleichliegender" Teildreiecke folgt.
Spezialfälle:|
= Viereck mit Umkreis
Es gilt: Die Summe der Gegenwinkel ist gleich. (=180°) . |
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Für Sehnenvierecke gilt übrigens die HERON'sche Flächenformel
A = 
, wobei
s der halbe Vierecksumfang ist.
Tangentenviereck
= Viereck mit Inkreis
Es gilt:
Die Summe gegenüberliegender Seitenlängen ist gleich groß.
Durch Spezialisierungen der Abmessungen eines allgemeinen Vierecks werden die besonderen Vierecke erhalten. (Vgl. Anhang: Besondere Vierecke und deren Eigenschaften)
Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.
| Beispiele: Gleichseitiges Dreieck, Quadrat Allgemeine Folgerungen aus der Definition: |
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* Jedes regelmäßige Vieleck besitzt einen In-und einen Umkreis.
* Jedes regelmäßige Vieleck ist drehsymmetrisch bezüglich M.
* Winkelsumme =
Aus den bekannten regelmäßigen Vielecken lassen sich leicht beliebig viele weitere konstruieren:
| Dreiecksfolge
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Vierecksfolge
Die Eckpunkte eines regelmäßigen Achtecks kann man erhalten, indem man die vier Kreisbögen, die in den Eckpunkten zentriert sind und durch die Quadratmitte gehen, mit den vier Quadratseiten schneidet...
Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) konnte beweisen, dass jedes regelmäßige Vieleck mit p Ecken (Primzahl der Form ... ) mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. (Siehe "Grundkonstruktionen")
Einsetzen von 0, 1, 2, 3, ... ergibt dann die Eckenzahlen:
Für andere Eckenzahlen muss man sich mit Näherungskonstruktionen begnügen, zum Beispiel folgender:
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1. Zwei normale Kreisdurchmesser werden gezeichnet. 2. Ein Durchmesser wird in n Teile geteilt (Strahlensatz; vgl. Kapitel 6.A) 3. Die Durchmesser werden um eine dieser entstandenen Teilstrecken links und oben verlängert. 4. Die neu entstandenen Endpunkte bestimmen eine Strecke, die eingezeichnet wird. 5. Der untere der beiden Schnittpunkte mit dem Kreis wird mit dem dritten Teilungspunkt (unabhängig von der Eckenanzahl!) verbunden. Diese Verbindungsstrecke ist näherungsweise gleich der n-Eck-Seitenlänge. |
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Konstruktion A: 1. Zwei aufeinander normale Kreisdurch-messer werden gezeichnet. 2. Ein Radius wird halbiert. 3. Dieser Halbierungspunkt ist Mitte eines Kreisbogens durch einen Schnittpunkt des anderen Durchmessers mit dem Kreis. 4. Die Sehne zwischen den beiden Schnittpunkten des Bogens mit den beiden Durchmessern ist die Länge der Fünfeckseite. 1525 beschreibt ALBRECHT DÜRER in seinem Lehrbuch "Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit..." diese erste Konstruktion. [Neudruck 1983 Verlag Dr. Alfons Uhl, Nördlingen, D, ISBN 3 921503 65 5) Konstruktion B: 1. Beginn wiebei Konstruktion A. 2. Auch der Viertelteilungspunkt des halb-ierten Halbmessers wird gezeichnet. 3. Dieser Teilungspunkt wird um 90° auf den unteren Radius gedreht. 4. Dieser Punkt ist Mittelpunkt eines Kreises, der den zuerst konstruierten Halbierungspunkt enthalten soll. 5. Zum zuerst geteilten Durchmesser werden parallele Tangenten an den soeben gezeichneten Kreis gelegt. Diese schneiden 4 Eckpunkte des Fünfecks aus. Konstruktion C: 1. Beginn wie bei Konstruktion A. 2. Ein Kreisbogen, der im unteren Endpunkt des lotrechten Durchmessers zentriert ist und den oberen Eckpunkt enthält,wird gezeichnet. 3. Eine zum lotrechten Durchmesser parallele Tangente wird bis zum Schnitt mit dem Bogen gezeichnet. 4. Eine Gerade durch den Mittelpunkt des Umkreises u. den entstandenen Schnittpunkt schneidet einen Eckpunkt des Fünfecks aus dem Umkreis aus. 5. Einen Nachbareckpunkt erhält man durch Spiegelung des ersten Eckpunkts am horizontalen Durchmesser. |
Die Konstruktion C stammt von FIALKOWSKI und ist seinem Buch "Zeichnende Geometrie", 1882, entnommen.
