2. Symmetrie
Axialspiegelung, Grundkonstruktionen
-->Bild von Weinlaub -->Bild eines Flugzeuges
Einer der grundlegendsten Begriffe der geometrischen Sprache - ja der ganzen Mathematik - der der Symmetrie, wird mit Hilfe der Axialspiegelung eingeführt. Darauf aufbauend werden elementare Konstruktionen mit Zirkel und Lineal behandelt.
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Gegeben sei eine Punkt P und eine Gerade g. Wir errichten eine Normale auf g durch P und messen die Entfernung zwischen P und g mit Hilfe des Zirkels. Diese eingestellte Länge wird auf der anderen Seite von g auf der Normalen abgeschlagen. |
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Unter der Spiegelung S an g [ Sg ]verstehen wir den Vorgang, bei dem jedem Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P' zugeordnet wird nach folgender Vorschrift:
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a) P Î g --> |
P'= P |
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b) P Ï g --> |
- Normale n auf g durch P |
Sg heißt auch AXIALSPIEGELUNG, ACHSENSPIEGELUNG , GERADENSPIEGELUNG
Wichtige Eigenschaften
* P' ist eindeutig bestimmt.
* (P')' ist gleich P
Eine Abbildung P ® P' mit der Eigenschaft, dass (P')' = P ist, heißt INVOLUTION.
* Jeder Punkt von .... hat bei einer gegebenen Spiegelung Sg eindeutig einen Urpunkt.
Ein einfaches Beispiel
Das Dreieck ist an der gegebenen Geraden zu spiegeln.
Aus diesem Beispiel können weitere Eigenschaften abgelesen werden, die eigentlich den Charakter von Axiomen haben:
* Was wird aus einer Strecke, einer Geraden?
längentreu, geradentreu
* Was wird aus einem Winkel ?
winkeltreu
Deshalb ist die Axialspiegelung auch parallelentreu!
Ein wichtiger Satz
Mit Hilfe obiger Eigenschaften können wir folgenden "SATZ von der Entfernungsgleicheit" herleiten (beweisen), auf welchen wir in der Folge öfters aufbauen werden:
Ein Punkt X der Spiegelachse ist von einem beliebigen Punkt P und seinem Bildpunkt P' immer gleich weit entfernt. |
Beweis:
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Hat man die Spiegelachse und einen Punkt P gegeben, so kann man auch mit dem Zirkel alleine den Bildpunkt konstruieren:
Was ist eine symmetrische Figur?
Unter einer Figur wollen wir im folgenden immer eine nichtleere Teilmenge von G verstehen, je nach dem Zusammenhang meint man damit nur den Rand oder auch das Innere!
Beispiele: Dreieck, Strecke, Kreis, ...
Im folgenden Beispiel ist die Figur F ein Kreis. Er soll an der Geraden gespiegelt werden:
Man sagt :
Figur und Bildfigur liegen symmetrisch bezüglich g.
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Zeichne einen Durchmesser und spiegle den Kreis an diesem: |
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Definition: Eine Figur F heißt symmetrisch (bezüglich einer Geraden, achsen- symmetrisch, axialsymmetrisch), wenn eine Gerade existiert, dass F -->F.
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Zwei Kopien aus dem englischen Buch für junge Leser: "How Mathematics Work" von Carol Vorderman (ISBN 0 7513 0310 0; London 1996) [VORDERMAN 1996]
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Was haben Strecken- und Winkelsymmetralen mit Fixfiguren zu tun?
Symmetrische Figuren bleiben bei Anwendung einer Axialspiegelung an der Symmetrieachse fix. Dies führt zur folgenden Definition:
Bleibt bezüglich einer Abbildung eine F unverändert (fix), man spricht von einer Fixfigur der Abbildung.
analog: Fixpunkt
Fixgerade
F heißt Fixpunktfigur, wenn sie nur aus Fixpunkten besteht.
Beispiel: Spiegelachse bei der Axialspiegelung
Gegeben: Punkt P und sein Bildpunkt P' Gesucht: Spiegelachse
Wir verwenden dazu den oben bewiesenen SATZ von der Entfernungsgleichheit: Sei X ein Punkt der Spiegelachse, dann gilt ....
Die konstruierte Gerade g heißt Streckensymmetrale (Mittelsenkrechte, Mittelnormale) von P und P'. Sie enthält alle Punkte (X) , die von P und P' gleich weit entfernt sind.
In Mengenschreibweise:
g = { X Î G½ PX = P'X}
Gegeben: 2 (Halb)Gerade a, b Gesucht: Symmetrieachse w für den Winkel Ð ab
Konstr.: w muss S enthalten, wähle A Î a und B Î b so, dass AS = BS, nach dem SATZ ....
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w heißt Winkelsymmetrale. Sie enthält alle Punkte, die von a und b jeweils gleichen Abstand haben. g = { X Î G½ aX = bX}
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geg: 2 Gerade ges: Winkelsymmetrale(n)
Wir erhalten 2 Winkelsymmetralen |
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Andere Konstruktion:
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Konstruktionen - wie die vorhergehenden - , die mit Hilfe von Zirkel und Lineal ausgeführt werden können, nennen wir Grundkonstruktionen.
Erweiterungen, Vertiefungen, Anhänge zum 2.Kapitel
Unter Grundkonstruktionen versteht man Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Diese "sportliche" Beschränkung soll auf PLATON (um 400 v.Chr.) zurückgehen. Dahinter steckt der Wunsch, nur die beiden genauesten Zeichengeräte zu benützen.
Beispiele: Streckensymmetrale, Winkelsymmetrale, gleichseitiges Dreiecke, Quadrat, rechter Winkel (wie ?)
Aufgabe: Teile einen rechten Winkel in drei gleich große Teile!
Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck!
Teile einen beliebig großen Winkel (z.B.: 78°, 60°) in drei gleich große Teile (natürlich ohne für die Teilung einen Winkelmesser zu benützen!)
Die letzte Aufgabe lässt sich mit Zirkel und Lineal nicht durchführen! Sie ist eine der drei klassischen Probleme der Mathematik der Griechen, die mit Zirkel und Lineal unlösbar sind:
Winkeldreiteilung: Ein beliebiger Winkel soll konstruktiv in drei gleiche Teile geteilt werden.
Würfelverdoppelung (DELISCHES PROBLEM): Zur Befreiung der Insel DELOS sollten die Delier nach einem Orakelspruch den Altarwürfel ihres Apollontempels verdoppeln.
"Konstruiere zu einem Würfel mit gegebener Seitenlänge die Seitenkante eines Würfels mit doppeltem Volumen!"
Versuche die Aufgabe rechnerisch zu lösen!
Quadratur des Kreises: Die Seitenlänge eines Quadrats ist zu konstruieren, welches zu einem Kreis (etwa mit dem Radius = 1) flächengleich ist.
Übrigens: Der Beweis für die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises wurde erst 1882 durch LINDEMANN (1852 - 1939) geschafft (Konstruierbarkeit von 
).
--> Zeitungsauschnitt "Quadratur"
Näherungskonstruktionen für p gab es schon vorher. Eine der genauesten ist jene von KOCHANSKY (17.Jhdt), die in der Darstellenden Geometrie eine Bedeutung hat:
Aus dem Buch "The Joy of MATHEMATICS" von Theoni PAPPAS (ISBN 0-833174-65-9, gedruckt 1993 [PAPPAS 1993]) stammt folgende Kopie zu den drei unlösbaren Problemen:
Symmetrie - Axialspiegelung
